Bài 1 (4,0 điểm)
a. Chứng minh là một số nguyên, biết rằng :
và
b. Tìm các cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn : x - y + 2xy = 3
Bài 2 (4,0 điểm)
a. Tìm điểm M(x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số biết :
b. Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện :
(x - 1) . f(x) = (x + 4) . f(x + 8) , với mọi xR.
Chứng minh đa thức f(x) có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố.
Bài 3 (4,0 điểm)
a. Tìm ba số a, b, c biết : và b.c = 3
b. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x2 + y3 + z4 = 1
Chứng minh : x5 + y6 + z7 < 1
Bài 4 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = BC. Vẽ tam giác đều ACN (N và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB).
a. Chứng minh
b. Tính số đo
Bài 5 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABE, ACF, BMC Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của E và F trên đường thẳng BC.
Chứng minh : a. EH + FK = BC
b. AB + AC = AM





Bài 1 (4,0 điểm)
Câu
Nội dung
Điểm




a
(2đ)




1.0




0.25




0.25


=> là số nguyên.
0.5






b
(2đ)
 x - y + 2xy = 3
=> 2x - 2y + 4xy = 6

0.25


=> (2x + 4xy) - 2y = 6
=> 2x(1 + 2y) - (2y + 1) = 5
=> (2x - 1).(2y + 1) = 5


0.5


Vì x, y nguyên => 2x - 1 và 2y + 1 nguyên
=> 2x - 1 và 2y + 1 là ước của 5.

0.25


Ta có bảng giá trị như sau :
2x - 1
1
5
-1
-5

2y + 1
5
1
-5
-1

x
1
3
0
-2

y
2
0
-3
-1

Thử lại
chọn
chọn
chọn
chọn





0.75



Vậy (x ; y) = (1 ; 2) ; (3 ; 0) ; (0 ; -3) ; (-2 ; -1)
0.25


Bài 2 (4,0 điểm)



a
(2đ)
Vì điểm M(x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số =>

0.25


Mà => =>

0.5


- Nếu x0 0 ta có : => x0 = -6 (không thỏa mãn x0 0 )

0.5


- Nếu x0 < 0 ta có : => x0 = (thỏa mãn x0 < 0)
=> y0 = 1.

0.5


Vậy điểm M ; 1) thỏa mãn đề bài.

0.25




b
(2đ)
 (x - 1) . f(x) = (x + 4) . f(x + 8) (*) , với mọi xR.
Thay x = 1 vào (*) ta có : (1 - 1) . f(1) = (1 + 4) . f(